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Was bedeutet die Korrelation zwischen Anlagesegmenten?

Was bedeutet die Korrelation zwischen Anlagesegmenten?

In diesem Beitrag wenden wir uns der Fragestellung zu, wie sich das Gesamtrisiko zweier Anlagesegmente berechnen lässt und welche Bedeutung die Korrelation in diesem Zusammenhang hat.

Zunächst schauen wir uns aber an, wie Du den Gesamtertrag zweier Anlagesegmente berechnen kannst, um eine Idee zu entwickeln, wie die Berechnung bei dem Gesamtrisiko funktionieren könnte.

Damit die Darstellungen einfach bleiben, untersuchen wir hier den Fall von zwei Anlagesegmenten, die in einem Portfolio zusammengefasst wurden.

Diese besondere Situation werden wir in einem gesonderten Artikel auf beliebig viele Anlagesegmente erweitern.

Wir finden also die stark vereinfachte Situation vor, dass Du in einem bestimmten Verhältnis Dein ganzes Vermögen in zwei Anlagesegmenten investiert hast.

Welche Anlagesegmente das sind, ist hier ohne Bedeutung, wir nennen sie daher einfach Anlagesegment A und Anlagesegment B.

Wenn Dein ganzes angelegtes Vermögen 10.000 Euro betragen würde und Du beispielsweise 3.000 Euro in A und 7.000 Euro in B angelegt hättest, dann könnten wir schreiben, dass Du einen Anteil von w_A = 30% Deines Vermögens in A und einen Anteil von w_B= 70% in B investiert hast.

Im Folgenden wollen wir ganz allgemein mit w_A und w_B den prozentualen Anteil des jeweiligen Anlagesegmentes am gesamten investierten Vermögen bezeichnen.

Dein Portfolioertrag

Für die Anlagesegmente A und B hast Du im Vorfeld schon eine Ertragsabschätzung durchgeführt. Details hierzu findest Du in dem Beitrag

Was kannst Du mit Deinem Geld machen?

So könntest Du für das Anlagesegment A beispielsweise eine Ertragserwartung von 4% und für das Anlagesegment B eine Ertragserwartung von 1% abgeschätzt haben.

Auch hier wollen wir wieder etwas verallgemeinern und schreiben mit dem kleinen griechischen Buchstaben \mu (sprich: mü) für die Ertragserwartungen \mu_A und \mu_B.

In Deinem Fall wäre also \mu_A = 4% und \mu_B = 1%.

Der Portfolioertrag R wird aus beiden Anlagesegmenten erwirtschaftet und setzt sich somit aus den jeweiligen Einzelerträgen zusammen.

Dabei gilt: Steigt zum Beispiel der Wert von A, dann steigt der Portfoliowert entsprechend dem Anteil w_A.

Umgekehrt wird bei einem Verlust im Anlagesegment A im Portfolio lediglich ein anteiliger Verlust verzeichnet.

Diese Vorüberlegungen legen eine natürliche Wahl der Zusammenführung beider Ertragserwartungen durch eine gewichtete Addition nahe:

    \begin{flalign*} R &  =  w_A \times \mu_A + w_B \times \mu_B.\\ \end{flalign*}

Der Portfolioertrag R wäre also für Dein Portfolio:

    \begin{flalign*} R &  =  w_A \times \mu_A + w_B \times \mu_B\\[12pt] &  = 30\% \times 4\% + 70\% \times 1\% \\[12pt] & = 1,90\%. \\ \end{flalign*}

Die Ertragserwartung R für Dein Portfolio würde also 1,90% betragen.

Das Portfoliorisiko – Teil 1

Ähnlich wie zuvor bei dem Ertrag gehen wir davon aus, dass Du für Deine zwei Anlagesegmente eine Risikoabschätzung durchgeführt hast.

Aus Deinen Marktbeobachtungen und Abschätzungen könntest Du als Beispiel für das Anlagesegment A eine Schwankung von 20% ermittelt haben.

Diese Schwankung bemisst anschaulich die Bandbreite um die Ertragserwartung herum. Vergleiche hierzu auch unseren Beitrag Risikoabschätzung bei der Geldanlage.

Wie in der Fachliteratur üblich, verwenden wir hier den kleinen griechischen Buchstaben \sigma (sprich: sigma), um in den Formeln das Risiko zu bezeichnen.

Das Risiko bei einer Investition in das Anlagesegment A beträgt in Deinem Fall nach obiger Abschätzung somit \sigma_A = 20%.

Und für das Anlagesegement B könntest Du z.B. das Risiko \sigma_B= 5% gefunden haben.

Etwas mathematisch wird die Lage der Schwankungsbreite so ausgedrückt: \mu\pm\sigma.

Damit ist gemeint, dass der künftige, dann tatsächlich erwirtschaftete Ertrag irgendwo in der Bandbreite zwischen \mu - \sigma und \mu + \sigma liegen wird.

Da es sich hierbei um Schwankungen um den Erwartungswert des Ertrages handelt, kann eine einfache gewichtete Addition der Risikowerte nicht das Portfoliorisiko S ergeben.

Denn Schwankungen können sich sowohl in positiver als auch in negativer Richtung als Abweichungen vom erwarteten Ertrag zeigen.

Bei zwei Anlagesegmenten können also vier Situationen von Abweichungen gegenüber der Ertragserwartung auftreten:

  • Situation 1: A weicht nach unten ab, B weicht nach unten ab
  • Situation 2: A weicht nach unten ab, B weicht nach oben ab
  • Situation 3: A weicht nach oben ab, B weicht nach unten ab
  • Situation 4: A weicht nach oben ab, B weicht nach oben ab

Würde immer streng nur Situation 1 oder Situation 4 gelten, dann könntest Du Deine einzelnen Risikowerte einfach wieder durch eine gewichtete Addition zum Portfoliorisiko aggregieren.

Und zwar genauso, wie zuvor bei dem Portfolioertrag.

Zwischenergebnis 1: einfache, gewichtete Risikoaddition

Bei vollständig sich gleich verhaltenden – also im Gleichlauf befindlichen – Anlagesegmenten gilt:

    \begin{flalign*} S &  =  w_A \times \sigma_A + w_B \times \sigma_B.\\ \end{flalign*}

Anderseits kann für die Situationen 2 und 3 festgestellt werden, dass das Gesamtrisiko offensichtlich kleiner wird, weil in jeder Situation die Anlagesegmente sich gegenläufig verhalten. Eins von beiden kompensiert anteilig jeweils den Verlust des anderen Anlagesegments.

Dies führt uns zu dem nächsten Zwischenergebnis.

Zwischenergebnis 2: einfache, gewichtete Risikosubtraktion

Bei vollständig sich gegenläufig verhaltenden Anlagesegmenten gilt:

    \begin{flalign*} S &  =  w_A \times \sigma_A - w_B \times \sigma_B.\\ \end{flalign*}

Da das Risiko vorzeichenfrei angegeben wird, wird im Falle eines negativen Wertes für S einfach das Vorzeichen weggelassen. Mathematisch: Es wird der Betrag von S als Portfoliorisiko angegeben.

Was passiert nun, wenn die Situationen 1, 2, 3 und 4 nicht streng eingenommen werden, also weder ein vollständiger Gleichlauf noch ein vollständiger Gegenlauf vorliegt?

Wie berechnet sich dann das Portfoliorisiko?

Bevor wir diese Berechnung durchführen können, führen wir den Begriff der Korrelation ein.

Was bedeutet die Korrelation zwischen Anlagesegmenten?

Die Korrelation ist eine einheitenlose Maßzahl mit Werten zwischen -1 und +1.

In der Mathematik wird mit der Korrelation der statistische Zusammenhang zweier Größen bewertet.

In der Finanzmathematik bemisst der Wert der Korrelation – stark vereinfacht ausgedrückt – die Stärke des Gleichlaufs zwischen zwei Anlagesegmenten.

Üblicherweise wird die Korrelation mit dem kleinen griechischen Buchstaben \rho (sprich: ro) abgekürzt. Und weil sie sich auf den Zusammenhang von zwei Anlagesegmenten bezieht, wird dies im Index kenntlich gemacht.

So bedeutet die Angabe \rho_{AB} die Korrelation zwischen den Anlagesegmenten A und B.

Ein Wert von \rho_{AB} = +1 heißt dabei, dass sich die beiden Anlagesegmente A und B in einem vollständigen Gleichlauf befinden.

Das entspricht den Situationen 1 und 4.

Wenn der Wert von \rho_{AB} = -1 ist, dann befinden sich beide Anlagesegmente in einem vollständigen Gegenlauf.

Das entspricht den Situationen 2 und 3.

Ein Wert von \rho_{AB} = 0 bedeutet, dass es zwischen den Anlagesegmenten – etwas bildhaft ausgedrückt – „keinen nutzbaren Zusammenhang“ gibt.

Ein anschauliches Beispiel hierzu sind zwei Würfel, deren Würfelergebnisse völlig unabhängig voneinander sind.

Grundsätzlich kann \rho_{AB} jeden Wert zwischen -1 und +1 annehmen und bemist damit die Stärke des Gegenlaufs bis hin zum vollständigen Gleichlauf.

Wird nur ein Anlagesegment betrachtet, so befindet sich dieses mit sich selbst immer im vollständigen Gleichlauf.

D. h. es gilt stets  \rho_{AA} = +1 bzw. \rho_{BB} = +1.

Weil es egal ist, welches Anlagesegment zuerst genannt wird, gilt außerdem folgende Symmetrie: \rho_{AB} = \rho_{BA}.

Thomas Fischer hat sich zur Verdeutlichung der Korrelation beispielhaft ein paar Kursverläufe von Wertpapieren aufgezeichnet.

In seiner ersten Grafik stellt er für einen Zeitraum von drei Wochen den Kursverlauf zweier Wertpapiere A und B dar, die einen vollständigen Gegenlauf aufweisen:

Was bedeutet die Korrelation zwischen AnlagesegmentenSeine zweite Grafik zeigt zwei Wertpapiere A und C, deren zeitliche Entwicklung unkorreliert ist, also einen Korrelationswert von Null aufweist:

Was bedeutet die Korrelation zwischen AnlagesegmentenDie letzte Grafik von Thomas Fischer stellt die Kursentwicklung zweier Wertpapiere A und D gegenüber, die einen vollständigen Gleichlauf aufweisen:

Was bedeutet die Korrelation zwischen AnlagesegmentenIm Folgenden wollen wir unsere Überlegungen zum Portfoliorisiko nun fortsetzen und die Berechnungsvorschrift angeben.

Das Portfoliorisiko – Teil 2

Nach unseren Vorüberlegungen zum Risiko und den Situationsbeschreibungen oben ist nun klar, dass die Stärke des Gleichlaufs – also die Korrelation – in die Berechnung für das Portfoliorisiko einfließen muss.

In einem ersten Schritt wird allen möglichen Kombinationen der Anlagesegmente A und B ein Risikopärchen zusortiert:

  • Anlagesegment A mit Anlagesegment A: \sigma_A \times \sigma_A
  • Anlagesegment A mit Anlagesegment B: \sigma_A \times \sigma_B
  • Anlagesegment B mit Anlagesegment A: \sigma_B \times \sigma_A
  • Anlagesegment B mit Anlagesegment B: \sigma_B \times \sigma_B

Sodann wird jedes Risikopärchen zusätzlich noch mit den Anteilen am Gesamtportfolio gewichtet:

  • Anlagesegment A mit Anlagesegment A: w_A \times \sigma_A \times w_A \times \sigma_A
  • Anlagesegment A mit Anlagesegment B: w_A \times \sigma_A \times w_B \times \sigma_B
  • Anlagesegment B mit Anlagesegment A: w_B \times \sigma_B \times w_A \times \sigma_A
  • Anlagesegment B mit Anlagesegment B: w_B \times \sigma_B \times w_B \times \sigma_B

Abschließend wird jede Kombination mit dem Maß für den Gleichlauf multipliziert:

  • Anlagesegment A mit Anlagesegment A: \rho_{AA} \times w_A \times \sigma_A \times w_A \times \sigma_A
  • Anlagesegment A mit Anlagesegment B: \rho_{AB} \times w_A \times \sigma_A \times w_B \times \sigma_B
  • Anlagesegment B mit Anlagesegment A: \rho_{BA} \times w_B \times \sigma_B \times w_A \times \sigma_A
  • Anlagesegment B mit Anlagesegment B: \rho_{BB} \times w_B \times \sigma_B \times w_B \times \sigma_B

Da alle Risikokombinationen in Deinem Portfolio vorkommen können, musst Du nun alle diese gewichteten Risikopärchen addieren. Dabei kannst Du die Vereinfachung berücksichtigen, dass gilt: \rho_{AA} = \rho_{BB} = 1 und \rho_{AB} = \rho_{BA}.

Als Ergebnis dieser Addition erhältst Du folgenden Ausdruck:

    \begin{flalign*} (\ast)\quad& w_A^2 \times \sigma_A^2 + 2\times\rho_{AB} \times w_A \times w_B \times \sigma_A \times \sigma_B + w_B^2 \times \sigma_B^2.\\ \end{flalign*}

Überprüfung des Zwischenergebnisses 1: vollständiger Gleichlauf

Bei einem vollständigen Gleichlauf galt \rho_{AB} = +1.

Wir setzten diese Korrelation in die vorherige Gleichung (\ast) ein und finden

    \begin{flalign*} & w_A^2 \times \sigma_A^2 + 2\times w_A \times w_B \times \sigma_A \times \sigma_B + w_B^2 \times \sigma_B^2.\\ \end{flalign*}

Dieser Ausdruck entspricht dem ausgerechneten ersten Binom.

Wir wenden die binomische Formel rückwärts an und finden:

    \begin{flalign*} & (w_A \times \sigma_A + w_B \times \sigma_B)^2.\\ \end{flalign*}

Wir vergleichen dieses mit dem Zwischenergebnis 1 und sehen, dass dies genau dem Quadrat des dortigen Portfoliorisikos S entpricht.

Überprüfung des Zwischenergebnisses 2: vollständiger Gegenlauf

Bei einem vollständigen Gegenlauf galt \rho_{AB} = -1.

Wenn Du diesen Korrelationswert in die obige Gleichung (\ast) einsetzt erhältst Du das ausgerechnete zweite Binom:

    \begin{flalign*} & w_A^2 \times \sigma_A^2 - 2\times w_A \times w_B \times \sigma_A \times \sigma_B + w_B^2 \times \sigma_B^2.\\ \end{flalign*}

Berechne die zweite binomische Formel rückwärts, und Du erhältst als Ergebnis:

    \begin{flalign*} & (w_A \times \sigma_A - w_B \times \sigma_B)^2.\\ \end{flalign*}

Im Vergleich zum Zwischenergebnis 2 stellst Du jetzt fest, dass dies genau dem Quadrat des dortigen Portfoliorisikos S entspricht.

Wir fassen das Ergebnis zusammen.

Man kann allgemein zeigen, dass die Summe (\ast) aus den einzelnen, gewichteten Risikopärchen dem Quadrat des Portfoliorisikos S entspricht.

Das Quadrat des Portfoliorisikos S berechnet sich also nach der Vorschrift:

    \begin{flalign*} S^2 &=  w_A^2 \times \sigma_A^2 + 2\times\rho_{AB} \times w_A \times w_B \times \sigma_A \times \sigma_B + w_B^2 \times \sigma_B^2.\\ \end{flalign*}

In der Mathematik werden Multiplikationszeichen fortgelassen. Und so verkürzt sich die Schreibweise zu:

    \begin{flalign*} S^2 &=  w_A^2  \sigma_A^2 + 2\rho_{AB}  w_A w_B \sigma_A \sigma_B + w_B^2 \sigma_B^2.\\ \end{flalign*}

Diese Formel findest Du oft in der Portfoliotheorie, z. B. im Zusammenhang mit Diversifikationseffekten.

Mit Diversifikation ist an dieser Stelle vereinfacht gemeint, dass durch Mischung von gegenläufigen Anlagesegmenten das Portfoliorisiko kleiner als jedes Einzelrisiko werden kann.

Fazit zur Frage: Was bedeutet die Korrelation zwischen Anlagesegmenten?

Sehr viel!

Durch geschicktes Aussuchen unterschiedlicher, möglichst gegenläufiger Anlagesegmente kannst Du Dein Portfoliorisiko deutlich reduzieren.

Eine Aufgabe besteht also neben der Auswahl der Anlagesegmente für Dich darin, nicht nur den Ertrag und das Risiko jedes Einzelsegments abzuschätzen, sondern auch das Maß für den Gleichlauf zwischen den Anlagesegmenten.

Wie Du das machen kannst, werden wir Dir im nächsten Beitrag zeigen.

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